Question

角AOB=30度，角AOB内有一定点P，且OP=10，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若

Answer 1

设∠poa=θ,则∠pob=30°-θ.作pm⊥oa与oa相交于m,并将pm延长一倍到e,即me=pm.
作pn⊥ob与ob相交于n,并将pn延长一倍到f,即nf=pn.
联接ef与oa相交于q,与ob相交于r,再联接pq,pr,则△pqr即为周长最短的三角形.
这是因为按作图法,oa是pe的垂直平分线,故eq=qp;同理,ob是pf的垂直平分线,故fr=rp,∴△pqr的周长=ef.
如果q,r偏离现在的位置到q1,r1,则新△pq1r1的周长=折线eq1r1f
的长>直线段ef的长.
下面确定△pqr的周长.也就是确定ef的长度.
由于oe=of=op=10cm,且∠eof=∠eop+∠pof=2θ+2(30°-θ)
=60°,∴△eof是正三角形,∴ef=10cm.即在保持op=10cm的条件下,△pqr的最小周长为10cm,而与p的具体位置无关.
作点e与p关于oa对称；作点f与p关于ob对称。
连接ef交oa、ob于q、r两点，则△pqr的周长最短。
∠eof=60°，oe=op
∴△pqr的周长=ef=10cm。
证明：∵点e与p关于oa对称，∴qe=qp，同理rf=rp。
∴ef=△pqr的周长。
若oa上另有一点m，ob上另有一点n，则△pmn的周长=em+mn+mf≥ef。

Answer 2

最小周长就是10
作点P分别关于OA、OB的对称点P1、P2，连结P1P2交OA于Q，交OB于R，则△PQR的周长最小，等于P1P2的长度，也恰好等于OP的长度10，这是因为，OP1
＝OP＝OP2，且∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，从而△P1OP2是正三角形。