Question

设z=f（2x-y，ysinx），其中f（u，v）具有二阶偏导数，求z先对x再对y的二阶偏导。

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

∵z=f（2x-y，ysinx）
∴
?
?x
z=
?
?x
f（2x-y，ysinx）
=f1′
?
?x
（2x-y）+f2'
?
?x
（ysinx）
=2f1′+ycosxf2'
?2z
?x?y
=
?
?y
（2f1′+ycosxf2'）
=2
?
?y
f1′+cosx
?
?y
（yf2'）
因为：
?
?y
f1′=f11″
?
?y
（2x-y）+f12″
?
?y
（ysinx）
=-f11″+sinxf12″
?
?y
（yf2'）=f2'+y
?
?y
f2'
=f2'+y[f21″
?
?y
（2x-y）+f22″
?
?y
（ysinx）]
=f2'+y[-f21″+sinxf22″]
=f2'-yf21″+ysinxf22″
所以：
?2z
?x?y
=2
?
?y
f1′+cosx
?
?y
（yf2'）
=2（-f11″+sinxf12″）+cosx（f2'-yf21″+ysinxf22″）
=-2f11″+2sinxf12″+cosxf2'-ycosf21″+ysinxcosxf22″
又因为函数f具有连续二阶导数，所以其二阶混合偏导数相等，即：
f12″=f21″
所以：
?2z
?x?y
=-2f11″+2sinxf12″+cosxf2'-ycosf21″+ysinxcosxf22″
=-2f11″+（2sinx-ycosx）f12″+cosxf2'+ysinxcosxf22″
故
?2z
?x?y
的值为：
-2f11″+（2sinx-ycosx）f12″+cosxf2'+ysinxcosxf22″