Question

这个的敛散性怎么判断呢？

高数

Answer 1

x＝1时，原级数成为Σ 2/n^2，显然收敛。
当0＜x＜1时，分子的首项x^n当n趋于无穷时极限是0、第二项x^(-n)＝(1/x)^n当n趋于无穷时极限是正无穷。于是，当n趋于无穷时，级数的通项Un(x)的极限等于(1/x)^n除以n^2的极限。由于当n趋于无穷时，(1/x)^n趋于正无穷的速度比n^2快（用洛必达法则容易计算，当a＞1时，lim(x⥤+∞)a^x/x^2＝+∞） ，所以当n趋于无穷时，级数通项的极限是无穷大。故级数发散。
当x＞1时，当n趋于无穷时，级数通项的首项趋于正无穷大、第二项趋于零。类似于前面的讨论可以证明，此时级数通项当n趋于无穷时极限也是无穷大，当然级数也是发散的。
综上，级数的收敛域是由1组成的单点集。