Question

A（x1，y1），B（x2，y2）是过抛物线y²=2px的焦点弦，则x1x2和y1y2都为定值

Answer 1

过抛物线y^2=2px（p>0）
焦点坐标F（p/2，0)
设直线斜率k：
y=k(x-p/2),代入y^2=2px：
[k(x-p/2)]^2=2px
k^2x^2
-
(k^2p+2p)x
+
k^2p^2/4
=
0
根据韦达定理：x1x2
=
(k^2p^2/4)/k^2
=
p^2/4
=
定值，得证。
要算y1y2
就把y=k(x-p/2),x用y
表示出来
结果
y1y2
等于
-P^2

Answer 2

ab过焦点(p/2,0),
则设ab:x=ky+p/2
代入y²=2px整理得
y²-2pky-p²=0
∴y1y2=-p²
y1²=2px1,y2²=2px2,
∴x1=y1²/2p,
x2=y2²/2p
∴x1x2=y1²y2²/4p²=(y1y2)²/4p²=(-p²)²/4p²=p²/4
∴y1y2/x1x2=(-p²)/(p²/4)=-4