Question

什么是勾股定理呀？最好有推导过程。谢谢！

Answer 1

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方
　勾股定理是余弦定理的一个特例
证明
作△A'B'C'≌△ABC使点A的对应点A'在BC上，
连接AA'
、BB'，
延长B'A'交AB于点M
。
　　
∵△A'B'C是由△ABC旋转所得
　　
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C
　　
∴∠A'B'C=∠ABC
　　
延长B'A'交AB于点M
　　
则∠A'B'C+∠B'A'C=90°
　　
而∠B'A'C=∠MA'B（对顶角相等）
　　
∴∠MBA'+MA'B=90°
　　
∴B'M⊥AB
　　
∴Rt△ABC∽Rt△A'BM
　　
∴A'B/AB=A'M/AC
　　
即(a-b)/c=A'M/b
　　
∴A'M=(a-b)·b/c
　　
∴S△ABB'=(1/2)AB·B'M=(1/2)AB·[B'A'+A'M]
　　
=(1/2)·c·[c+(a-b)·b/c]
　　=(1/2)c^2+(1/2)(a-b)·b
　　
=(1/2)[c^2+ab-b^2]
　　
S△B'A'B=(1/2)A'B·B'C=(1/2)(a-b)a=(1/2)(a^2-ab)
　　
而S△ABB=2·S△ABC+S△B'A'B
　　
∴(1/2)[c^2+ab-b^2]=2·[(1/2)ab]+(1/2)(a^2-ab)
　　
则c^2+ab-b^2=2ab+a^2-ab
　　
∴a^2+b^2=c^2.