Question

如图所示，已知抛物线y1=1/3x²+bx+c和直线y2=kx+b都经过点A（1,0）B（-2,3）

点P是抛物线上一动点，在直线AB的下方，当△PAB的面积为1时，求p点坐标。 （图片地址） http://imgsrc.baidu.com/forum/w%3D580/sign=dc81b5eaf51fbe091c5ec31c5b610c30/d3caf31fbe096b63516ed4cc0b338744eaf8ac40.jpg

Answer 1

解：将A(1,0)、B(-2,3)分别代入y1=x²/3+bx+c
与
y2=kx+m

（题中用b不妥，因y1中已用），得

1/3+b+c=0，4/3-2b+c=3
-->
b=-2/3，c=1/3

k+m=0，-2k+m=3
--------->
k=-1，m=1

故
y1=(x²-2x+1)/3，y1'=2(x-1)/3，y1"=2/3>0

y2=-x+1

当
x=1时，y1有最小值，且
min
y1(x=1)=0

抛物线对称于x=1，且B的对称点坐标为B'(4,3)

设位于AB线下方的抛物线上点P关于x=1的对称点坐标为P'(x,y)，且x∈[1,4]

有

△PAB≌△P'AB'

故有
S=(x-1)y/2+(x-1+4-1)(3-y)/2-3(4-1)/2=1

即
x-y-5/3=0

将抛物线方程
y=(x²-2x+1)/3
代入上式并整理，得

x²-5x+6=(x-2)(x-3)=0

得
x1=2、x2=3，其关于x=1的对称点值为
x1'=0、x2'=-1

将x1=2（或0）、x2=3（或-1）
分别代入
y=(x²-2x+1)/3

得
y1=1/3
或
y2=4/3

由此可得满足△PAB面积=1的P点坐标为P1(0,
1/3)或P2(-1,
4/3)。