Question

x+y+z=1,且都为正数，求x³+y³+z³+6xyz的最小值

Answer 1

构造三元下凸函数
(多元函数凸性判断相当难，略)
f(s,t,v)=s³+2stv，
则Jensen不等式的多元推广得
f(x,y,z)+f(y,x,z)+f(z,x,y)
≥3f[(x+y+z)/3,(y+z+x)/3,(z+x+y)/3]
=3f(1/3,1/3,1/3)
=3×[(1/3)³+2×1/3×1/3×1/3]
=1/3，
即x³+y³+z³+6xyz≥1/3.
故x=y=z=1/3时，
所求最小值为1/3。