Question

已知O为坐标原点,向量OA=(sinα,1),向量OB=(cosα,9),OC=(-sinα,2),点P满足向量AB=向量BP

Answer 1

第一个问题：
∵向量OA＝（sinα，1）、向量OB＝（cosα，9）、向量OC＝（－sinα，2），
∴向量AB＝向量OB－向量OA＝（cosα－sinα，8），
　向量CA＝向量OA－向量OC＝（2sinα，－1）。
∴向量BP＝（cosα－sinα，8），∴向量PB＝－向量BP＝（sinα－cosα，－8）。
∴f（α）＝向量PB·向量CA＝2sinα（sinα－cosα）＋8
＝2（sinα）^2－2sinαcosα＋8＝1－cos2α－sin2α＋8＝9－（sin2α＋cos2α）
＝9－√2［sin2αcos（π/4）＋cos2αsin（π/4）］＝9－√2sin（2α＋π/4）。
∵－π/8＜α＜π/2，∴－π/4＜2α＜π，∴0＜2α＋π/4＜π＋π/4，
∴当0＜2α＋π/4≦π/2时，f（α）单调递减，当π/2＜2α＋π/4＜π＋π/4时，f（α）单调递增。
由0＜2α＋π/4≦π/2，得：－π/4＜2α≦π/4，∴－π/8＜α≦π/8。
由π/2＜2α＋π/4＜π＋π/4，得：π/4＜2α＜π，∴π/8＜α＜π/2。
即：函数f（α）的单调递减区间是（－π/8，π/8］，单调递增区间是（π/8，π/2）。
∵0＜2α＋π/4＜π＋π/4，∴－√2/2＜sin（2α＋π/4）≦1，∴－√2≦－√2sin（2α＋π/4）＜1，
∴9－√2≦9－√2sin（2α＋π/4）＜10。
∴函数f（α）的值域是［9－√2，10）。
第二个问题：
∵向量AB＝（cosα－sinα，8）、向量BP＝（cosα－sinα，8），
∴向量AP＝（2cosα－2sinα，16），又向量OA＝（sinα，1），
∴向量OP＝向量OA＋向量AP＝（2cosα－sinα，17），而向量OC＝（－sinα，2）。
∵O、P、C三点共线，∴向量OP、向量OC共线，∴2（2cosα－sinα）＋17sinα＝0，
∴4cosα＋15sinα＝0，∴tanα＝－4/15。
由－π/8＜α＜π/2、tanα＝－4/15，得：－π/8＜α＜0，
∴sinα＝－√｛（sinα）^2/［（cosα）^2＋（sinα）^2］｝＝（tanα）/√［1＋（tanα）^2］
＝－（4/15）/√［1＋（4/15）^2］＝－4/√（225＋16）＝－4/√241。
∴cosα＝√［1－（sinα）^2］＝√（1－16/241）＝15/√241。
∴sinα＋cosα＝11/√241，∴（sinα＋cosα）^2＝121/241。
∵向量OA＝（sinα，1）、向量OB＝（cosα，9），
∴向量OA＋向量OB＝（sinα＋cosα，10），
∴｜向量OA＋向量OB｜＝√［（sinα＋cosα）^2＋100］＝√（121/241＋100）
＝√24221/√241。