Question

余数定理高手进

1.已知关于X的整式能被X+3整除；除以X+2，X-3时，余数分别是-4，6，求满足上述条件的次数最低的整式
2.已知F（X）=X的三次方+2X的二次方+3X+2除一整系数多项式G（X）所的的商式及余式均为H（X），试求：G（X）和H（X），其中G（X）和H（X）均为非常数的多项式

Answer 1

1.设所求的整式为:f(x)
依据题意得到f(x)满足以下条件:
f(x)=(x+3)*A(x) ----(1)
f(x)=(x+2)*B(x)-4 ----(2)
f(x)=(x-3)*B(x)+6 ----(3)
根据(1)得到:当x=-3时,f(x)=0 ----(4)
根据(1)得到:当x=-2时,f(x)=-4 ----(5)
根据(1)得到:当x=3时,f(x)=6 ----(6)
根据(4)得到:f(x)通过x,f(x)平面上的(-3,0)点.
根据(5)得到:f(x)通过x,f(x)平面上的(-2,-4)点.
根据(6)得到:f(x)通过x,f(x)平面上的(3,6)点.
明显:(-3,0),(-2,-4),(3,6)三点不在一直在线,因此设二次函数y=ax^2+bx+c通过此3点.
得到3个方程:
0=9a-3b+c
-4=4a-2b+c
6=9a+3b+c
解得:a=1,b=1,c=-6
因此所求的次数最低的整式整式为:x^2+x-6

2. F(x)=x^3+2x^2+3^x+2=x^3+3x^2+3x+1-x^2+1
=(x+1)^3-(x+1)*(x-1)
=(x+1)(x^2+2x+1-x+1)
=(x+1)*(x^2+x+2)
F(x)=G(x)*H(x)+H(x)=H(x)*(G(x)+1)
因为除式的次数高于余式,且G（X）和H（X）均为非常数的多项式.
比较因式分解的结果得到:G(x)=x^2+x+1
H(x)=x+1