行列式的概念与性质?

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萧振国敬冠
2019-04-08 · TA获得超过2.9万个赞
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第三节
行列式的性质
根据n阶行列式的定义,计算一个n阶行列式,要求n!项n个元素乘积的代数和.当阶数n比较大时,这样的计算量是很大的,并且用起来不方便,因此我们有必要讨论行列式的计算方法.
在这一节,先研究行列式的一些运算性质,然后利用其性质给出一种简便的计算方法.

把d的各行换成同序号的列,得到一个行列式,记成

称为行列式d的转置行列式.
显然,d与
互为转置行列式.
性质1
行列式与它的转置行列式的值相等.即


的转置行列式为

则有元素
由定义
由性质1知,行列式中“行”与“列”的地位是相同的,行与列具有相同的性质.
性质2
互换行列式的其中两行(列),行列式改变符号.


是由行列式
交换i,j(i<j)两行得到的,那么有

时,
于是
最后一式中的行标排列
是自然排列,列标排列
是由
经一次对换得到的.设
的逆序数为s,则由对换性质有
,从而

表示行列工的第i行,用
表示第i列.交换行列式的第i行与第j行,记作
.类似地,交换第i列与第j列,记作
.
推论
如果行列式其中有两行(列)完全相同,那么行列式等于零.

交换相同的两行,由性质2得,
,于是
.
性质3
将行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以k,等于用数k乘此行列式.


,用数k乘以d的第i行,得
.
由定义

行元素乘以数k,记作
.类似地,第
列元素同乘以数k,记作
.
推论
行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

行(或列)提出公因子k,记作
由性质2和性质3的推论即得下列性质.
性质4
如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例,那么行列式等于零.
性质5
如果行列式的某一行(列)元素都是两个数之和,那么可以把行列式表示成两个行列式的和,即
性质5由读者自己证明.
性质6
把行列式某一行(列)的元素同乘以数k,加到另一行(列)对应元素上去,行列式的值不变,即

设原行列式为d,变形后得到的行列式为
,由性质5的性质4得,
用数k乘以第j行(或列)加到第
行(或列)上去,记作
由行列式的以上性质,可以把行列式化简,化为三角行列式的形式,从而方便地求出行列式的值.此方法叫做化上(下)三角形法.下面举一些例子.
例1
计算

例2
证明

设此行列式为d,先把d化简,得
例3
计算n阶行列式

从行列式d的元素排列特点看,每一列n个元素的和都相等,今把第2,3,…,n行同时加到第1行,提出公因子
,然后各行减去第一行的b倍,有
Sievers分析仪
2024-10-13 广告
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本回答由Sievers分析仪提供
谎言竹p
互联网爱好者

2019-04-06 · 随时了解一些互联网详情
知道小有建树答主
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根据行列式的性质,很容易成上三角形式的值为1
*(-1)(-1)*
1
*
=
定义
=Σ(-1)^α(J1J2
......
JN)*
a1j1
*
a2j2
*
......
anjn
所以原来的公式=(-1)^α(2143)1
*
1
*
1
=
1
[2143,21,43以相反的顺序,所以α^(2143)
=
2]
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