Question

椭圆的光学性质证明？

Answer 1

椭圆有个很好的光学性质：从一个焦点发出的光线，都会汇聚到另一个焦点。这种神奇的性质的证明，往往都是通过解析几何来说明。这里介绍一个简单的、只需要几何方法即可说明的证法。

先描述下问题：已知椭圆的半长轴为a，焦点是F1F1和F2F2，在椭圆上任选一点C（共线情况好说，这里不妨认为C与F1F1、F2F2不共线），作C的角平分线ll，过C点作ll的垂线m，则m是椭圆的切线。

这和高中的一道题有些像：已知有两个村庄F1、F2和河流m，在m上要建一个抽水站P，问P在哪里使得PF1+PF2PF1+PF2最小。受到启发，证明如下

证明思路：添加辅助线——作CF1CF1关于m的对称线段CA。容易证明A、C、F2F2是共线的。这和抽水站问题很像：如果取m上不是C的点P，则

PA+PF2>CA+CF2=2a
PA+PF2>CA+CF2=2a
也就是说，PF1+PF2PF1+PF2也要大于2a，即P点要落在椭圆外面。这意味着直线m与椭圆只有一个交点。即m是椭圆的切线。

Answer 2

既然问了这个问题，应该有一定的基础吧。
椭圆的光学性质是：光线从一个焦点入射，经过椭圆边界反射后会到达另一个焦点。
证明思路：建立坐标系，任设一条过左焦点的直线方程（1），求出与椭圆的交点，再求导得该点的切线方程（2），求出关于的对称直线方程（3），易知（3）过右焦点，证讫。