Question

已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0(1)m取何值时两圆外切

Answer 1

（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）
2
+（y-3）
2
=11、（x-5）
2
+（y-6）
2
=61-m，
两圆的圆心距d=
(5-1)
2
+(6-3)
2
=5，两圆的半径之和为
11
+
61-m
，
由两圆的半径之和为
11
+
61-m
=5，可得
m=25+10
11
．
（2）由两圆的圆心距d=
(5-1)
2
+(6-3)
2
=5
等于两圆的半径之差为|
11
-
61-m
|，
即|
11
-
61-m
|=5，可得
11
-
61-m
=5
（舍去），或
11
-
61-m
=-5，解得m=25-10
11
．
（3）当m=45时，两圆的方程分别为
（x-1）
2
+（y-3）
2
=11、（x-5）
2
+（y-6）
2
=16，
把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为
4x+3y-23=0．
第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为
d=
|4+9-23|
5
=2，可得弦长为
2
11-4
=2
7
．