Question

已知a＞0，函数f（x）=ln（2-x）+ax．（1）设曲线y=f（x）在点（1...

已知a＞0，函数f（x）=ln（2-x）+ax． （1）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+1）2+y2=1相切，求a的值； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）求函数f（x）在[0，1]上的最小值和最大值．

Answer 1

解：由f（x）=ln（2-x）+ax，得到f′(x)=a(x-2a-1a)x-2，
（1）把x=1代入f（x）得：f（1）=a，则切点坐标为（1，a），
把x=1代入导函数中得：f′（1）=a-1，则切线的斜率k=a-1，
所以切线方程l为：y-a=（a-1）（x-1），即（a-1）x-y+1=0，
由l与圆（x+1）2+y2=1相切，又圆心坐标（-1，0），半径r=1，
则圆心到直线l的距离d=|a|(a-1)2+1=r=1，解得a=1；
（2）由2-x＞0，解得x＜2，得到f（x）的定义域为x＜2，又a＞0，得到2-1a＜2，
①当x＜2-1a时，f′（x）＞0，函数单调增；①当2-1a＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调减，
∴f（x）的单调区间为：(-∞，2-1a)增；(2-1a，2)减；
（3）由（2）求出的函数的单调区间：(-∞，2-1a)增；(2-1a，2)减，
①当2-1a≥1，即a≥1时，f（x）在区间[0，1]上为单调增函数，所以f（x）max=f（1）=a，f（x）min=f（0）=ln2；
②当2-1a＜1，即0＜a＜1时，所以f（x）max=f（2-1a）=2a-1-lna，f（x）min=min{f（1），f（0）}；
综上，得到：f(x)min=ln2，当a＞ln2a，当0＜a≤lg2，f(x)max=2a-1-lna，当0＜a＜1a，当1≤a．