Question

急！！关于微分中值定理与导数的应用

设f(x)在[1，2]上有二阶导数，且f(2)=0,又F(x)=(x-1)^2 *f(x)，证明：在区间(1,2)内至少存在一点§，使得F"(§)=0

Answer 1

由题设,f(x)在[1,2]上有2阶导数
考察函数F(x)=(x-1)²f(x)
显然F(x)在[1,2]上连续，在(1,2)可导且
F(1)=(1-1)²f(1)=(2-1)²·0=(2-1)²f(2)=f(2)
所以存在η∈(1,2)使得F'(η)=0
现在考察区间[1,η]包含于[1,2)
容易证明F'(x)在(1,η)可导，在[1,η]连续
∵F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)²f'(x)
∴ F'(1)=0·f(1)+0·f'(1)=0=F'(η)
故存在ξ∈(1,η)使得F'(ξ)=0
但是（1,η）包含于（1,2)
所以ξ∈(1,2)
证毕

Answer 2

首先F(1)=F(2)=0，用Rolle定理得(1,2)里至少有一点t满足F'(t)=0。
再注意到F'(1)=0，再对F'(x)用一次Rolle定理即可。

Answer 3

F(1)=F(2)=0
于是存在m∈(1,2),使 F'(m)=0
g(x)=F'(x)=2(x-1)*f(x)+(x-1)^2*f'(x)
g(1)=0，g(m)=0
于是存在§∈(1,m)，使 g'(§)=0，即F''(§)=0