已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+2f(2...
已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+2f(2),若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且f(1)=2,则f(2011)等于()A...
已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+2f(2),若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且f(1)=2,则f(2011)等于( )A.2B.3C.4D.6
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因为函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,
所以函数f(x)的图象关于直线x=0对称,即函数f(x)是偶函数,故有f(-x)=f(x).
∵对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+2f(2),
∴f(-2+4)=f(-2)+2f(2)⇒f(-2)+f(2)=0⇒2f(2)=0⇒f(2)=0
∴f(x+4)=f(x)+2f(2)=f(x).即函数周期为4.
∴f(2011)=f(4×502+3)=f(3)=f(-1)=f(1)=2.
故选A.
所以函数f(x)的图象关于直线x=0对称,即函数f(x)是偶函数,故有f(-x)=f(x).
∵对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+2f(2),
∴f(-2+4)=f(-2)+2f(2)⇒f(-2)+f(2)=0⇒2f(2)=0⇒f(2)=0
∴f(x+4)=f(x)+2f(2)=f(x).即函数周期为4.
∴f(2011)=f(4×502+3)=f(3)=f(-1)=f(1)=2.
故选A.
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