Question

已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的焦距为27，其一条渐近线...

已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的焦距为27，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tanθ=32．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设点A是椭圆E的左顶点，P、Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为-14，问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）双曲线x2a2-y2b2=1的焦距2c=27，则c=7，∴a2+b2=7，①
渐近线方程y=±bax，由题知tanθ=ba=32，②
由①②解得a2=4，b2=3，
∴椭圆E的方程为x24+y23=1．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，
由x24+y23=1y=kx+m，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，
又A（-2，0），由题知kAP•kBQ=y1x1+2•y2x2+2=-14，
则（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠-2，
则x1•x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）
=(1+4k2)x1x2+(2+4km)(x1+x2)+4m2+4
=(1+4k2)(4m2-12)3+4k2+(2+4km)-8km3+4k2+4m2+4=0
则m2-km-2k2=0，
∴（m-2k）（m+k）=0，
∴m=2k或m=-k．
当m=2k时，直线PQ的方程为y=kx+2k=k（x+2）．
此时直线PQ过定点（-2，0），显然不适合题意．
当m=-k时，直线PQ的方程为y=kx-k=k（x-1），此时直线PQ过定点（1，0）．
当直线PQ的斜率不存在时，若直线PQ过定点（1，0），P、Q点的坐标分别为(1，32)，(1，-32)，满足kAP•kAQ=-14．
综上，直线PQ过定点（1，0）．