Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD‖BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒4cm的

如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD‖BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动。当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动。设点P、Q同时出发，并运动了t秒。

①直角梯形ABCD的面积为__________cm的平方
②当t=_________秒时，四边形PQCD成为平行四边形？
③当t=_________秒时，AQ=DC
④是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

考点：直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定．
专题：动点型．
分析：（1）作DM⊥BC于点M，在直角△CDM中，根据勾股定理即可求得CM，得到下底边的长，根据梯形面积公式即可求解．
（2）当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形．
（3）连接QD，根据S△DQC=S△DQC，即可求解．
解答：解：（1）作DM⊥BC于点M．则四边形ABMD是平行四边形，
∴DM=AB=6cm．
在直角△CDM中，CM=CD2-DM2=8cm，
∴BC=BM+CM=4+8=12cm，
∴直角梯形ABCD的面积为 12（AD+BC）•AB=48cm2；
（2）当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形，
即4-5x=4x，
解得x=49；
（3）存在，t=74．
连接QD，则CP=14-4t，CQ=5t，
若QP⊥CD，S△DQC=S△DQC，有CQ×AB=CD×QP，即5t×6=10×QP，
得QP=3t，
在Rt△QPC中，
QP2+PC2=CQ2，即（3t）2+（14-4t）2=（5t）2
解之得 t=74，
求得BC=12，
CP=14-4t=7＜10，
CQ=5t=354＜12，
所以，存在t=74时，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定方法，梯形的计算，梯形问题一般通过作高线转化为三角形与平行四边形的问题．

Answer 2

解:过D点作DE垂直于BC,交BC于E,可知DE=AB=6,AD=BE=4.
在三角形DEC中,利用勾股定理求出EC=8,则得到BC=8+4=12.
假设存在T,作PQ垂直于DC,连接QD,则AP=4T,CQ=5T.
在三角形QED中,由勾股定理求出:QD^2=6^2+(5T-8)^2;
在三角形QPD中,由勾股定理求出:QP^2=6^2+(5T-8)^2-(4T-4)^2;
在三角形QPC中,由勾股定理可知:6^2+(5T-8)^2-(4T-4)^2+(14-4T)^2=(5T)^2;
解得T=7/4(秒).
可知当T=7/4秒时,使得P点在线段DC上且PQ垂直DC.

Answer 3

Answer 4

解：（1）作DM⊥BC于点M．则四边形ABMD是平行四边形
∴DM=AB=6cm．
在直角△CDM中，CM= =8cm
∴BC=BM+CM=4+8=12cm
∴直角梯形ABCD的面积为 （AD+BC）•AB=48cm2；

（2）当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形
即4-4x=5x
解得x= ；

（3）BC=12-5x
在直角△ABQ中，AB2+BQ2=AQ2
即62+（12-5x）2=102
解得x= ；

（4）存在， ．
连接QD，则CP=14-4t，CQ=5t
若QP⊥CD，S△DQC=S△DQC，有CQ×AB=CD×QP
得QP=3t
在RtS△QPC中
QP2+PC2=CQ2，即（3t）2+（14-4t）2=（5t）2
解之得
求得BC=12
CP=14-4t=7＜10
CQ=5t= ＜12
所以，存在t，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC．

Answer 5

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