Question

设Sn=1-2+3-4+…+[(-1)^(n-1)]*n,则S(4m)+S(2m+1)+S(2m+3) (m∈N*) 的值为( )?

设Sn=1-2+3-4+…+[(-1)^(n-1)]*n,则S(4m)+S(2m+1)+S(2m+3) (m∈N*) 的值为( )? 答案是 3 我做不出来 到底应该怎么做？ 请写出详细过程及思路，谢谢！

Answer 1

最简单的方法令m=1，这样直接是3
1、当n=2k（k是正整数)
这样可以看成两个等差数列的和（这里没有公式编辑器，凑合着写了）
令Sn=An+Bn，其中An=1+3+5+……+（2k-1）=k^2
Bn=-2-4-6-……-2k=-k*（k+1）
故
Sn=-k=-n/2（n为偶数）
2、当n=2k+1（k是正整数）
同样令Sn=An+Bn，其中An=1+3+5+……+（2k+1）=（k+1）^2
Bn=-2-4-6-……-2k=-k*（k+1）
Sn=k+1=（n+1）/2（n是奇数）
对于S(4m)+S(2m+1)+S(2m+3)
4m为偶数，所以S(4m)=-2m
2m+1和2m+3为奇数
故S(2m+1）=m+1，S(2m+3)=m+2
所以
S(4m)+S(2m+1)+S(2m+3)=3