Question

设函数f(x)在[0,1]连续且单调增加，证明F(X)=(1/X)∫[0，x]f(t)dt在(0,1

设函数f(x)在[0,1]连续且单调增加，证明F(X)=(1/X)∫[0，x]f(t)dt在(0,1)内也单调增加

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

F(x)=(1/x)*∫[0,x]f(t)dt
F'(x)=(1/x)'*∫[0,x]f(t)dt+(1/x)*{∫[0,x]f(t)dt}'
=(-1/x²)*∫[0,x]f(t)dt+(1/x)*f(x)
=(-1/x²)*{∫[0,x]f(t)dt-xf(x)}
由积分中值定理，在[0,x]上，至少存在一点ξ∈[0,x]，
使得
(x-0)f(ξ)=∫[0,x]f(t)dt
∴F'(x)=(-1/x²)*{xf(ξ)-xf(x)}
=(-1/x)*{f(ξ)-f(x)}
∵x∈(0,1)，即0<x<1，∴-1/x<0
又f(x)为增函数，且0≤ξ≤x，∴f(ξ)≤f(x)，即f(ξ)-f(x)≤0
∴有
F'(x)≥0
在(0,1)上成立
∴F(x)在(0,1)上单调递增