Question

已知数列{an}满足条件：a1=1，an+1=2an+1，n∈N﹡．（Ⅰ）求证：...

已知数列{an}满足条件：a1=1，an+1=2an+1，n∈N﹡． （Ⅰ）求证：数列{an+1}为等比数列； （Ⅱ）令cn=2nan•an+1，Tn是数列{cn}的前n项和，证明Tn＜1．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由题意得an+1+1=2an+2=2（an+1），
又a1+1=2≠0．
所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（1）知an=2n-1，
故cn=2nanan+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1，∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1-13)+(13-17)+…+(12n-1-12n+1-1)
=1-12n+1-1＜1．
故Tn＜1．