Question

设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB一bcosA=1...

设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB一bcosA=1/2c. (1)求 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB一bcosA=1/2c. (1)求tanA/tanB的值. (2)tan(A一B)的最大值,并判断当tan(A一B)取最大值时△ABC的形状.

Answer 1

1、a/sinA=b/sinB=c/sinC,所以c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA,将此式代入已知式子得,asinAcosB-acosAsinB=2bsinAcosA,因为a/sinA=b/sinB,所以sinAcosB=3sinBcosA,即tanA/tanB=3
2、tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)=(tanA/tanB-1)/(ctanB+tanA)=2/(ctanB+3tanB)
当ctanB=3tanB时,tan(A-B)取最大值,为3分之根号3
此时,tanB=3分之根号3,tanA=根号3,所以三角形ABC的形状为60度、30度、90度的直角三角形.