Question

求定积分∫(上限为1，下限为0)x^2/(1+x^2)^2 dx

Answer 1

在分子上+1-1，
原式拆为2项=∫1/(1+x^2)
dx
-∫1/(1+x^2)^2
dx
其中第1个积分∫1/(1+x^2)
dx的原函数是arctanx，计算得=π/4，
第2个积分∫1/(1+x^2)^2
dx用换元令x＝tant，得=∫(上限为π/4，下限为0)（cost）^2
dt
=∫(上限为π/4，下限为0)（1+cos2t）/2
dt
（计算得）=π/8+1/4，
原式=π/8
-
1/4。

Answer 2

分部积分法公式：∫
u
dv
=
u×v
-
∫
v
du
先计算不定积分：
∫
x
ln(x+1)
dx
=
∫
ln(x+1)
d(x²/2)
采用分部积分法
=
(x²/2)ln(x+1)﹣(1/2)
∫
x²/(x+1)
dx
=
(x²/2)ln(x+1)﹣(1/2)
∫
[x﹣1
+
1/(x+1)
]
dx
=
(x²/2)ln(x+1)﹣(1/2)
[
x²/2﹣x+ln(x+1)]
+
c