这道初三数学题,我们老师都不会做,求高手解答
如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AF平分∠BAC,交于BD点F.前两问会做,省略。(3)将∠ADC绕顶点D旋转一定的角度后,DC边所在的直线与BC...
如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AF平分∠BAC,交于BD点F. 前两问会做,省略。 (3)将∠ADC绕顶点D旋转一定的角度后,DC边所在的直线与BC边交于点C1(不与点B重合),DA边所在的直线与BA边的延长线交于点A1,如图2,A1F1平分∠BA1C,交BD于点F1,过点F1作F1H1⊥AB,垂足为H1,请猜想F1H1,½A1C1与AD三者之间的数量关系,并证明你的猜想。
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【1】
为了方便起见,可设F1H1=a,
½A1C1=b,AD=c.
【2】
易知,⊿A1DC1为等腰直角三角形。
∴(√2)A1D=A1C1=2(½A1C1)=2b.
即(√2)A1D=2b.
∴A1D=(√2)b.
【3】
由题设及三角形内外角关系可知:
∠A1F1D=∠ABD+∠C1A1F1
=∠DA1C1+∠C1A1F1
=∠DA1F1.
即∠A1F1D=∠DA1F1
∴由“等角对等边”可知:A1D=F1D.
∴F1D=A1D=(√2)b.
【4】
在正方形ABCD中,易知,BD=(√2)AD=(√2)c.
又易知,BF1=(√2)F1H1=(√2)a.
且BD=BF1+F1D.
∴(√2)c=(√2)a+(√2)b.
∴c=a+b.
即:AD=F1H1+(½)A1C1.
为了方便起见,可设F1H1=a,
½A1C1=b,AD=c.
【2】
易知,⊿A1DC1为等腰直角三角形。
∴(√2)A1D=A1C1=2(½A1C1)=2b.
即(√2)A1D=2b.
∴A1D=(√2)b.
【3】
由题设及三角形内外角关系可知:
∠A1F1D=∠ABD+∠C1A1F1
=∠DA1C1+∠C1A1F1
=∠DA1F1.
即∠A1F1D=∠DA1F1
∴由“等角对等边”可知:A1D=F1D.
∴F1D=A1D=(√2)b.
【4】
在正方形ABCD中,易知,BD=(√2)AD=(√2)c.
又易知,BF1=(√2)F1H1=(√2)a.
且BD=BF1+F1D.
∴(√2)c=(√2)a+(√2)b.
∴c=a+b.
即:AD=F1H1+(½)A1C1.
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