Question

已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）判断f（x）的奇偶性；（2...

已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y） （1）判断f（x）的奇偶性； （2）若x＞0时，f（x）＞0证明：f（x）在R上为增函数； （3）已知f（1）=2，求f（x）在[-3，3]的最大值与最小值． _____

Answer 1

令x=y=0，得f（x）=0，
令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），
因此f（x）是R上的奇函数．
（2）证明：设x1＜x2，则x2-x1＞0，
所以f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＞0，
所以f（x2）＞f（x1）．
故f（x）在R上是增函数．
（3）【解析】
因为f（1）=2，f（x+y）=f（x）+f（y），
所以所有的正数都可以用f（1）=2表示出来，且f（x）在[-3，3]上为增函数，
所以最大值为f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=6，
最小值为f（-3）=-f（3）=-6，
故所求最大值是6，最小值是-6．