Question

已知偶函数y=f（x）在区间[-1，0]上是增函数，且满足f（1-x）+f（1+...

已知偶函数y=f（x）在区间[-1，0]上是增函数，且满足f（1-x）+f（1+x）=0，下列判断中错误的是（ ） A．f（5）=0 B．函数f（x）在[1，2]上单调递减 C．函数f（x）的图象关于直线 x=1对称 D．函数f（x）的周期是T=4

Answer 1

分析：利用赋值的方法，结合f（x）为偶函数，可得f（1）=f（3）=f（5）=0，故A项正确；利用题中等式可以证出y=f（x）图象关于点（1，0）对称，再结合f（x）为偶函数且区间[-1，0]上是增函数，得f（x）在[1，2]上单调递减，B项正确；由B项的证明可得C项是错误的；最后利用赋值的方法，结合变量代换，可证出f（x）的周期是T=4，得到D正确．
解答：解：对于A，令x=0代入题中等式，得f（1-0）+f（1+0）=0
∴f（1）=0，结合函数为偶函数得f（-1）=f（1）=0
再令x=2代入题中等式，，得f（1-2）+f（1+2）=0，得f（3）=-f（-1）=0
结合函数为偶函数得f（-3）=f（3）=0
最后令x=4，f（1-4）+f（1+4）=0，得f（5）=-f（-3）=0，故A项正确；
对于B，因为偶函数y=f（x）图象关于y轴对称，在区间[-1，0]上是增函数，
所以y=f（x）在区间[0，1]上是减函数，
设F（x）=f（1+x），得F（-x）=f（1-x）
因为f（1-x）+f（1+x）=0，得f（1+x）=-f（1-x），
所以F（x）=f（1+x）是奇函数，图象关于原点对称．由此可得y=f（x）图象关于点（1，0）对称．
∵区间[1，2]和区间[0，1]是关于点（1，0）对称的区间，且在对称的区间上函数的单调性一致
∴函数f（x）在[1，2]上单调递减，故B项正确；
对于C，由B项的证明可知，y=f（x）图象关于点（1，0）对称，
若f（x）的图象同时关于直线 x=1对称，则f（x）=0恒成立，
这样与“在区间[-1，0]上f（x）是增函数”矛盾，故C不正确；
对于D，因为f（x）=f（1-（1-x））=-f（1+（1+x））=-f（x+2）
所以f（x+2）=-f（x+4），可得f（x+4）=f（x），函数f（x）的周期是T=4，D项正确
故选：C
点评：本题给出抽象函数，要我们在给出的几条性质中找出错误的一项，着重考查了抽象函数的性质和函数单调性、奇偶性等知识，属于中档题．