Question

已知函数f（x）=x3-3ax-1在x=-1处取得极值． （I）求实数a的值； ...

已知函数f（x）=x3-3ax-1在x=-1处取得极值． （I）求实数a的值； （II）当x∈[-2，1）时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）先对函数求导可得，f′（x）=3x2-3a，由题意可得，f′（-1）=0可求
（II）由f（x）=x3-3x-1，得f′（x）=3x2-3
由f′（x）=3x2-3=0，可得函数f（x）在（-∞，-1），单调递增，（-1，1）单调递减，（1，+∞）单调递增
，从而函数在区间[-2，1]上的最大值为f（-1），最小值是f（-2）与f（1）中的较小者
解答：解：（I）f′（x）=3x2-3a
由题意可得，f′（-1）=0即3-3a=0∴a=1
（II）由f（x）=x3-3x-1，得f′（x）=3x2-3
令f′（x）=3x2-3=0，得x=±1
∴函数f（x）在（-∞，-1），单调递增，（-1，1）单调递减，（1，+∞）单调递增
从而函数在区间[-2，1]上的最大值为f（-1），最小值是f（-2）与f（1）中的较小者
∵f（-2）=-3，f（-1）=1，f（1）=-3
∴函数的值域是[-3，1]
点评：本题主要考查了函数在某点x取得极值的性质：f′（x）=0，利用导数研究函数的单调性及求解函数的最值（值域问题），这是导数中最基本的试题类型．