Question

已知函数f(x)=x2+mx+n的图象过点(1,3),且f(-1+x)=f(-1...

已知函数f(x)=x2+mx+n的图象过点(1,3),且f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于原点对称. (1)求f(x)与g(x)的解析式; (2)若F(x)=g(x)-λf(x)在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.

Answer 1

(1)由题意知:1+m+n=3对称轴为x=-1故-
m
2
=-1
解得m=2,n=0,
∴f(x)=x2+2x,
设函数y=f(x)图象上的任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),
则x0=-x,y0=-y,因为点Q(x0,y0)在y=f(x)的图象上,
∴-y=x2-2x,
∴y=-x2+x,
∴g(x)=-x2+2x.
(2)F(x)=-x2+2x-λ(x2+2x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x
∵F(x)在(-1,1]上是增函且连续,F'(x)=-2(1+λ)x+2(1-λ)≥0
即λ≤
1-x
1+x
=
2
1+x
-1在({-1,1}]上恒成立,
由
2
1+x
-1在(-1,1]上为减函数,
当x=1时取最小值0,故λ≤0,所求λ的取值范围是(-∞,0],