Question

一道必修一的数学题

已知函数f（X）=（根号3-ax）/a-1
若在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围

Answer 1

解：有题设a不等于1，令t=根号（3-ax）
当a=0时
f(x)=-根号3，在区间上不单调，恒等于-根号3；
当a<0时
在区间（0，1]上
3-ax>0成立
t关于x的函数单调递增
f（x）=t/(a-1)单调递减
内函数递增外函数递减
则原函数单调递减
当0<a<1时
在区间（0，1]上
3-ax>0成立
t关于x的函数在区间上单调递减
f(x)=t/(a-1)单调递减
内函数递减，外函数递减
则原函数单调递增
当a>1时
在区间（0，1]上，3-ax>=0成立
则a=<（3/a）min=3
此时，t关于x的函数单调递减
f(x)=t/(a-1)单调递增
内函数单调递减，外函数单调递减
所以原函数在区间（0，1]上单调递减
综上可知，满足题意的a的取值范围为（负无穷，0）或（1,3]