Question

解一道初三数学要步骤

如图在△ABC中点O是边AC上一个动点,过点O作直线MN平行BC,设MN交∠BCA的平分线与点E,交∠BCA的外角平分线于点F，（1）探究线段OE与OF的数量关系并加以说明（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是则说明理由
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形

Answer 1

1）OE=OF
MN‖BC，∠OEC=∠ECB，因为CE平分∠BCA，所以∠ECB=∠ECO，
所以∠OEC=∠ECO,所以OE=OC，同理∠OCF=∠OFC，OC=OF ，所以OE=OF.
2）四边形BCFE不可能是菱形
因为OE，OF分别是△ABC的内外角平分线，可知∠ECF=90°，△ECF是直角三角形，而EF是斜边，FC是直角边，斜边和直角边不可能相等，故四边形BCFE不可能是菱形
3）当△ABC是直角三角形，且O运动到AC中点时，四边形AECF是正方形
因为当∠ACB是直角，CE、CF分别是内外角平分线，所以，∠OCE=∠OCF=45°，也就是说△ECF是等腰直角三角形，CF=CE。当O在AC中点的时候，因为O是EF的中点，所以四边形AECF是平行四边形，而且∠ECF=90°，CE=CF，所以四边形AECF是正方形 。