Question

如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=80°,P在△ABC内，∠PBC=10°,∠PCB=20°,则∠PAB=?

Answer 1

作等边三角形ABD，使得∠DAC是锐角，连结CD。
则：AB=BD=AD，∠ABD=∠BAD=60°。
∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴AD=AC，∠DAC=80°-60°=20°，
∠ABC=50°=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC=1/2×（180°-20°）=80°
∵∠PBC=10°∠PCB=30°
∴∠CBD=60°-50°=10°=∠PBC
∠ABP=50°-10°=40°
∠BCD=80°-50°=30°=∠PCB
∴△PBC≌△DBC，∴PB=BD=AB
∴∠BAP=∠BPA=1/2×（180°-40°）=70°

Answer 2

以bp为对称轴作三角形bpc的轴对称图形bpc'，pc'交ac于点d，连接cc',ac',ap。
∵∠pab=10°,∠pba=20°
∴∠bpc=150°
同理∠bpc'=150°
∴∠cpc'=∠pcc'=60°
由对称得△bpc≌三角形bpc'
∴pc=pc',∠pc'b=20°
∴等边△cpc'
∴∠pc'c=60°
∵∠bc'p=20°
∴∠bc'c=80°
∵∠bac=80°
∴a,b,c,c'四点共圆
∵∠pbc=∠pbc'=10°
∴∠cbc'=20°
∴∠cac'=20°
∵∠bac=80°,ab=ac
∴∠acb=(180°-80°)/2=50°
∴∠pca=30°
∴∠pdc=90°
∴pd=c'd(三线合一）,∠apd=∠adc'=90°
∵ad=ad
∴△adp≌△adc'(sas)
∴∠pad=∠cpc'=20°
∴∠pab=80°-20°=60°