Question

设f(x)定义域为D,若满足;(1)f(x)在D内是单调函数；

设f(x)定义域为D,若满足;(1)f(x)在D内是单调函数；（2）存在[a,b]是D的子集使f(x)在x∈[a,b]值域为[a.b],则称f(x)为D上的闭函数。当f(x)=2k+(x+4）^0.5为闭函数时，k的范围是—
要详细过程，Thank you!

Answer 1

f(x)=2k+√(x+4)定义域为[-4，+∞）
显然，f(x)在其定义域内是单调增函数！满足（1）的要求；

再根据（2）的要求：
-4≤a<b且f(a)＝a,f(b)＝b

分别代入即为：
a^2-(2k+1)a+4k^2-4＝0
b^2-(2k+1)b+4k^2-4＝0

显然a、b(-4≤a<b)为方程：
x^2-(2k+1)x+4k^2-4＝0
二个不相等的实数根！
故有以下三个条件同时成立：
(1)判别式＝(2k+1)^2-4(4k^2-4)>0；
(2)对称轴x＝(2k+1)/2>-4；
(3)f(-4)≥0
由(1)得：12k^2-4k-17<0,
(1-2√13)/6<k<(1+2√13)/6
由(2)得：k>-4.5
由(3)得：k≥0

综上：k∈[0,(1+2√13)/6]

Answer 2

f(x)=2k+(x+4）^0.5为闭函数,根据题意得到，x>=-4上是增函数，“存在[a,b]是D的子集使f(x)在x∈[a,b]值域为[a.b]”，[a,b]是D的一个子区间，a>=-4,值域f（x）>=-4,这个式子中，（b+4）^0.5+2k=b,这个式子中求得一个关于b的二次函数的方程，只要b有解，就成立，b^2-4ac>=0,这个式子求得k的范围，然后求得交集，就是k的取值范围。