Question

数学矩阵问题 设矩阵

A= 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 求正交矩阵T使T的-1次方AT=T'AT为对角矩阵。 （要求写出正交矩阵T 和相应的对角矩阵 T的-1次方AT=T'AT ）。

Answer 1

解:
|A-λE|
=
1-λ
-1
1
-1
1-λ
-1
1
-1
1-λ
r1-r3
-λ
0
λ
-1
1-λ
-1
1
-1
1-λ
第1行提出λ
-1
0
1
-1
1-λ
-1
1
-1
1-λ
r2-r1,r3+r1
-1
0
1
0
1-λ
-2
0
-1
2-λ
=
λ*(-1)*[(1-λ)(2-λ)-2]
=
-λ(λ^2-3λ)
=
-λ^2(λ-3).
所以
A
的特征值为
0,0,3.
AX=0
的基础解系为:
a1=(1,1,0)',
a2=(1,-1,-2)'.
(A-3E)X=0
的基础解系为:
a3=(1,-1,1)'
单位化(已经正交)得:
b1=(1/√2,1/√2,0)',
b2=(1/√6,-1/√6,-2/√6)',
b3=(1/√3,-1/√3,1/√3)'
令
T
=
(b1,b2,b3)
=
1/√2
1/√6
1/√3
1/√2
-1/√6
-1/√3
0
-2/√6
1/√3
则T为正交矩阵,
且
T^-1AT
=
diag(0,0,3).