Question

已知函数f(x)=2x-12x+1．（1）判断f（x）的奇偶性并给出证明；（2）...

已知函数f(x)=2x-12x+1． （1）判断f（x）的奇偶性并给出证明； （2）若f（x）=2x•k有两个不同的实数根，求k的取值范围．

Answer 1

解：函数f(x)=2x-12x+1为R上的奇函数．
证明：由题得函数的定义域为R，关于原点对称．
又f（-x）=2-x-12-x+1=1-2x2x2x+12x=1-2x1+2x=-f（x）
故函数f(x)=2x-12x+1在R上为奇函数．
（2）由f（x）=2x•k
整理得：2x-12x+1=1-22x+1=2x•k
设2x=t，则t＞0，上式可化为1-2t+1= t•k，
化简得kt2+（k-1）t+1=0，由题可知该式有两个不等的实根．
所以，判别式△=（k-1）2-4k＞0
解得，k＞3+22，或k＜3-22．
故k的取值范围为
k＞3+22，或k＜3-22．