Question

如何证明函数极限的唯一性

Answer 1

证明如下：
假设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a<b，任意给定ε>0。
总存在一个δ1>0，当0<丨x-x。丨<δ1时，使得丨f（x）-a丨<ε成立。
总存在一个δ2>0，当0<丨x-x。丨<δ2时，使得丨f（x）-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等价变换为a-ε<f（x）<a+ε①和b-ε<f（x）<b+ε②。
令δ=min{δ1，δ2}，当0<丨x-x。丨<δ时。①，②两个不等式同时成立。
因为①，②两个不等式同时成立，所以①式右端必定大于或等于②式左端。
即：b-ε≤a+ε，移项得：(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义：ε可以任意小矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。

Answer 2

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函数极限的定义是：设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ
，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ
时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A|<ε
那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
下面根据上面的定义证明唯一性。
反证法，
假设另外还存在一个A1为f(x)在x0处的极限，且
|A1-A|>0.
取定义中的
ε=|A1-A|/2，
存在正数δ1
，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ1
时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A|<ε
存在正数δ2
，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ2
时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A1|<ε
设
δ=min(δ1，δ2),
即为δ1，δ2中小的那个。则当x满足不等式0<|x-x。|<δ
时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A|<ε和
|f(x)-A1|<ε
于是
|A-A1|
<=
|A-f(x)|
+
|f(x)-A1|
<
2ε
=
|A1-A|.
矛盾！
所以极限唯一。
祝学业有成。