Question

最大质因数

Answer 1

质数是数论里最重要的，少儿班考试或数学竞赛几乎是必考的，今天介绍两道求最大质因数的真题。

题目①:11×11×11×11 + 11×11×11 + 2×11×11 + 11 + 1的最大质因数是多少。

分析：如果求一个数的最大质因数，很自然的会想到分解质因数，然后找出最大的即可。但此题给的是一个计算式，可能会有巧妙的办法直接转化成几个数的乘积。如果没有发现好办法就先把和求出来，然后分解质因数。

先看一下分解质因数的方法：

上式的和是16226，首先容易看出是2的倍数：16226=2×8113。由于2,3,5的倍数是非常容易判断的，如果不是2,3,5的倍数，像8113就不那么容易分解了。

插播一个知识点：判断一个数A是不是质数。

如果不是2,3,5的倍数，接下来可以用7,11,13,17…等质数挨个去试，一直试到A的算术平方根就可以。(因为如果质数m超过了它的算术平方根，而整除A的话，那么A=mn，则n肯定小于m，即n的时候就可以整除A了)

经过努力的分解16226=2×7×19×61，所以最大的质因数是61。

可以算出来，但是费时费力，如果数很大就很难直接计算了，像下面这道题也是少儿的真题(可见这种题型的重要性)：

题目②:S=2010×2011 + 2013×2012 + 2010×2012 + 2013×2011，则S的最大质因数是多少。

硬算的话，需要把这些乘积算出来相加，再分解质因数，非常大的计算量。

下面我们尝试把算式直接转化成几个数的乘积

题目①:11×11×11×11 + 11×11×11 + 2×11×11 + 11 + 1

仔细观察可以看到2×11×11中有2，容易想到完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²，则有

(11×11+1)² + 11×(11×11+1)

=122²+11×122

=122×133

=2×61×7×19

所以答案是61。

题目②:S=2010×2011 + 2013×2012 + 2010×2012 + 2013×2011

=2011×(2010+2013) + 2012×(2010+2013)

=(2011+2012)×(2010+2013)

=4023×4023

然后求4023的最大质因数即可。

Answer 2

根据算术基本定理,任何一个合数N,都可以被分解为N=a1*a2*...an(a1≤a2≤...≤an,且ai为质数,1≤i≤n).an就是这个合数的最大质因子

对于质数，其最大质因数就是本身。