Question

问一道高中数学题（关于不等式）

设不等式x^2-(a+1)x-a^2＞0对一切a∈(1,2]都成立,求x的取值范围。

Answer 1

这个问题属于高中的一元二次函数问题，具体是一元二次函数零点与区间的位置关系问题，不适宜用韦达定理来解，因为韦达定理来解此类问题有较大的局限性。此类问题的正确解法是：从以下四个方面的考虑（1）二次项系数的正负以确定开口方向；（2）对称轴-b/2a的大小以确定对称轴的位置；（3）判别式与零的关系以确定抛物线与x轴的交点情形；（4）区间端点函数值得正负以确定零点在区间的内部还是外部，一般解题时只需要考虑到两点，故解题过程不是大家想象中的那么复杂。这类题型在高一学习一元二次函数时遇到的可能性不是很大，以为比较难，所以部分老师就不讲了。但是在学完导数章节后，明智的老师还是会讲解的，因为它可能会出现在导数解答题（高考中最低占13分），闲扯到此为止。针对本题如下解：视a为自变量整理出一个新函数g(a)＝a^2+x·a－(x^2－x)，对一切自变量a∈(1,2]，关于a的不等式a^2+x·a－(x^2－x)<0（其中x视常数）都成立。本题分为两个方面讨论：（1）对称轴在x=1的左侧，-b/2a=<1以及区间端点1的函数值g(1)<=0;(2)对称轴在x=2的右侧，-b/2a>2以及区间端点2的函数值g(2)<0。由这两个方面解得的x再求并集即可。我是一名高中数学老师，如果不懂，可以进我的空间留言继续问。

Answer 2

这个问题比较简单：首先把a看作未知数，而把x看作已知数，即原式可化为：
a^2+x·a－(x^2－x)<0
令 t(a)＝a^2+x·a－(x^2－x)
由不等式对一切 aε(1,2] 成立
所以 t(1)≤0 且 t(2)<0，
可得：x取值为(-∞,-1)U(4,+∞)

Answer 3

f(x)=x^2-(a+1)x-a^2 > 0 可以看成关于a的函数
f(a)=-a^2 -xa + x（x-1）> 0 视为开口向下的抛物线 其解为a∈(1,2]