Question

已知f(x)为二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x.（1）当x属于[1/2,2]时，求f(2^x)的最大值与最小值

已知f(x)为二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x.（1）当x属于[1/2,2]时，求f(2^x)的最大值与最小值
要过程，只限今天，非诚勿扰！！！！！！！！！！！！

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c;
f(x+1)＝a(x+1)^2+b(x+1)+c
f(x-1)＝a(x-1)^2+b(x-1)+c
f(x+1)+f(x-1)＝2(ax^2+bx+c+1)

即：2(ax^2+bx+c+1)＝2x^2-4x
(a-1)x^2+(b+2)x+c+1＝0
此式与x的取值无关，故有：
a＝1,b＝-2,c＝-1
f(x)＝x^2-2x-1

(1)f(x)=(x-1)^2-2，
在x∈(-∞,1)单调递减，x∈(1,+∞)单调递增,最小值为f(1)。
当x∈[1/2,2]时，y＝2^x∈[√2,4],f(2^x)为递增函数！

故最大值为x＝2时取得f(2^2)＝f(4)＝7
最小值为x＝1/2时取得f(2^1/2)＝f(√2)＝1-2√2

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c;
x=0,f(1)+f(-1)=0 =>c=-a;
x=1,f(2)+f(0)=-2 =>b=-a-1;
x=3,f(4)+f(2)=6 =>a=1
suoyi
f(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2

zuidazhi
f(2^x)=f(4)=7