Question

定积分的计算？

求详细计算过程，答案是8

Answer 1

先换元，再去绝对值。

Answer 2

解:原题在被积函数没有绝对值符号的情况下:sin[(x/2)+(π/4)]=sin(x/2)cos(π/4)+cos(x/2)sin(π/4)=√2/2[sin(x/2)+cos(x/2)]原式=√2∫(0,2π) [sin(x/2)+cos(x/2)]dx=2√2∫(0,2π) [sin(x/2)+cos(x/2)]d(x/2)=2√2[-cos(x/2)+sin(x/2)] |(0,2π)=2√2*2=4√2
在被积函数有绝对值情况下，分析一下被积函数，不难发现:被积函数由上述常规周期为4π初相位π/4的正弦函数，变成了周期为2π初相位π/4的完全正值的连续半正弦函数(相当于正弦函数的负半轴的负值完全翻转到正轴)。所以，而积分上下限正好是一个函数周期，所以积分值与初始相位无关了。
原式=2∫(0,2π) sin(x/2)dx
=4∫(0,2π) sin(x/2)d(x/2)
=-4cos(x/2)|(0,2π)=8

追问

答案是8

追答

不要问答案，指出哪里错了！

是有问题。原题是有绝对值符号的，脱去绝对值后，由于积分上下限是2π和0，sin[(x/2)+(π/4)]与相位π/4无关，就是sin(x/2)在0到2π的积分。所以答案确实是8

Answer 3

2∫(0->2π) | sin(x/2+π/4) | dx
=2∫(0->3π/2) sin(x/2+π/4) dx -2∫(3π/2->2π) sin(x/2+π/4) dx
=-4[cos(x/2+π/4)]|(0->3π/2) +4[cos(x/2+π/4)]|(3π/2->2π)
=-4(-1 -√2/2 ) +4(√2/2 +1 )
=8(√2/2 +1 )
=4(√2 +2 )

Answer 4