Question

无穷个无穷小的乘积是无穷小吗？

Answer 1

是。两个无穷小的乘积是无穷小，所以无限个无穷小的乘积是无穷小。

反例如下： 

设函数fn(x)=1 (0≤x≤n-1) 。

fn(x)=x^(n-1) (n-1＜x≤n, n=1,2,3,…) 。

fn(x)=1/x (n≤x＜+∞) 。

则当n→+∞时，对每一个自然数n都有fn(x)→0，即fn(x)是无穷小量。但它们的积为f(x)=∏(1，∞)fn(x)=1，(0＜x＜+∞)。

当x→+∞时，函数f(x)也不是无穷小量。所以无穷个无穷小的乘积不一定是无穷小。

相关内容解释：

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。 

5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

7、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。