Question

高等数学，这题怎么做？

答案是分情况，x＞1和x＜-1，然后令x=1/t，最后求出来的是方法一的答案，但是x加了个绝对值，所以问题是
①为啥分情况
②以下两个答案是相等吗（本人看着好像不相等）

Answer 1

第一问有点尴尬，看看我的解答是不是你想要的。

未完待续

第二问的关键是:这两个结论是否相同。事实上可以只相差一个常数。

供参考，请笑纳。

Answer 2

把定义域求出来，然后分类讨论

Answer 3

根据你提供的信息，我们可以进行以下推导：
由题目中的代换 x = csc(t)，可以得到
dx = (-csc(t) * cot(t)) dt
将其代入原式中：
∫((csc(t) + cot(t))/csc(t)) dt
= ∫(1 + cot(t)/csc(t)) dt
= ∫(1 + cos(t)/sin(t)) dt
= ∫(1 + x/sec(t)) * (-dx/(x^2)) （利用代换 x = sec(t) 和 dx = -sec(t)*tan(t) dt）
= ∫(-1/x - cos(t)/(x^2sin(t))) dt
= -ln|x| - ∫((sin^2(t) - 1)/(x^3*sin(t))) dt
= -ln|x| + ∫(1/x^3) dt - ∫(1/(x*sin(t))) dt
对于第一个积分 ∫(1/x^3) dt，直接计算可得：
∫(1/x^3) dt = -1/(2x^2) + C1
其中，C1 为积分常数。
对于第二个积分 ∫(1/(x*sin(t))) dt，先将其化简：
∫(1/(x*sin(t))) dt = ∫(csc(t)/x) dt
= ln|csc(t) - cot(t)| + C2
其中，C2 为积分常数。
因此，原式可以化简为：
-ln|x| - 1/(2x^2) - ln|csc(t) - cot(t)| + C3
其中，C3 为积分常数。
根据题目中的代换 x = sec(t)，可得到新的 t 值为：
t = arcsin(1/x) + C4
其中，C4 为常数。
因此，原式可以进一步化简为：
-ln|x| - 1/(2x^2) - ln|cot(arcsin(1/x)) - 1/√(1 - 1/x^2)| + C5
其中，C5 是一个常数。
综上所述，根据 x = csc(t) 和 x = sec(t) 两种代换方式，得到的原式结果分别为：
- ln|x| - 1/(2x^2) - ln|cot(arcsin(1/x)) - 1/√(1 - 1/x^2)| + C5
或者
arcsin(x) + 1/(2x^2) - ln|tan(arcsin(x/√(1+x^2))) + sec(arcsin(x))| + C6
其中，C5 和 C6 都是常数。

Answer 4

因为t是有范围的 x取的是t的极限值
这俩肯定不相等的

Answer 5

记录了我就默默。