线性代数矩阵及其运算
设X是nX1的矩阵，且X^TX=1，证明：S=I-2XX^T是对称矩阵，且S^2=IX^T表示矩阵X的转置大家帮帮忙啊，谢谢了...
设X是n X 1的矩阵，且X^T X=1，证明：S=I-2XX^T是对称矩阵，且S^2=I
X^T表示矩阵X的转置
大家帮帮忙啊，谢谢了 展开
X^T表示矩阵X的转置
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证明：
S=I-2XX^T
S^T=(I-2XX^T)^T=I^T-2(XX^T)^T=I-2XX^T
∴S=S^T，即S是对称矩阵。
S^2=(I-2XX^T)(I-2XX^T)
=I-2XX^T-2XX^T+4(XX^T)(XX^T)
=I-4XX^T+4X(X^TX)X^T
=I-4XX^T+4XX^T
=I
S^2=I
S=I-2XX^T
S^T=(I-2XX^T)^T=I^T-2(XX^T)^T=I-2XX^T
∴S=S^T，即S是对称矩阵。
S^2=(I-2XX^T)(I-2XX^T)
=I-2XX^T-2XX^T+4(XX^T)(XX^T)
=I-4XX^T+4X(X^TX)X^T
=I-4XX^T+4XX^T
=I
S^2=I
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