Question

设函数f(x)在(-∞，+∞)内可导，且满足f(x)=f'(x),f(0)=m,如果∫(1,-1)f(x)/e^x dx=8,则m=?（如下图

求详细解答过程，详细！详细！

Answer 1

楼上的方法虽然是常微分方程的常规解法, 但是有缺陷, 一旦f(x)有零点还需要额外讨论.
更好的方法是直接令g(x)=f(x)/e^x, 那么g'(x)=0, 得到g是常数, 即g(x)=g(0)=m

Answer 2

都已经知道f(x)=f'(x)了就非常简单了
f'(x)=f(x) => df(x) /f(x)= 1dx然后两边对x积分得到

lnf(x)=x +C
x=0, f(x)=m带人得到C=ln m
f(x)=e^(x+ln m) = me^x
∫(1,-1)f(x)/e^x dx
=m∫(1,-1) dx =2m=8 , m=4

Answer 3

方法如下，
请作参考：

Answer 4

因为f'(x)=f(x)则可知，
f(x)=ceˣf(0)=c=m,
∫(-1,1)e⁻ˣf(x)dx
=m∫(-1,1) e⁻ˣ×e⁻ˣdx
=m*∫(-1,1)dx=2m
∫(-1,1)e⁻ˣf(x)dx=8
所以 m=4