Question

线性方程组（二）- 行化简与阶梯形矩阵

Answer 1

矩阵中 非零行或列 指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列。非零行的 先导元素 是指该行中最左边的非零元素。

一个矩阵称为 阶梯形（或行阶梯形）矩阵 ，若它有一下三个性质：

阶梯形矩阵对应的方程组就是三角形形式。

任何非零矩阵都可以 行化简 （即用初等行变换）变为阶梯形矩阵，但用不同的方法可化为不同的阶梯形矩阵。然而，一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯形矩阵。

每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。

若矩阵 行等价于阶梯形矩阵 ，则称 为 的阶梯形矩阵；若 是简化阶梯形矩阵，则称 为 的简化阶梯形矩阵。

矩阵中的 主元位置 是矩阵 中对应于它的简化阶梯形中先导元素1的位置。 主元列 是矩阵 的含有主元位置的列。

把矩阵 化为阶梯形矩阵，并确定主元列。
解：使用用初等行变换进行转化。记号“～“表示它前面和后面的两个矩阵是行等价的。

主元 是在主元位置上的非零元素。在矩阵转换过程中，通过初等行变换用主元将下面的元素化为0。上述转换过程中，我们使用的主元是1，2，5。

用初等行变换把矩阵 先化为阶梯形矩阵，再化为简化阶梯形矩阵。
解：

第一至四步称为行化简算法的 向前步骤 ，产生唯一的简化阶梯形矩阵的第五步称为 向后步骤 。

行化简算法通常称为 高斯消去法 。在第二步选取主元时，计算机程序通常选择一列中绝对值最大的元素作为主元。这种方法通常称为 部分主元法 ，可以减少计算中的舍入误差。

行化简算法应用于方程组的增广矩阵时，可以得出线性方程组解集的一种显示表示法。

设某个线性方程组的增广矩阵已化为行等价的简化阶梯形矩阵 。因为增广矩阵有4列，所有有3个变量。对应的线性方程组是 。对应于主元列的变量 和 称为 基本变量 。其它变量 称为 自由变量 。

只要一个线性方程组是相容的，其解集就可以显式表示。（若有自由变量，用自由变量表示基本变量。）简化阶梯形矩阵使每个基本变量仅包含在一个方程中，容易解出简化阶梯形矩阵 的解集的表示式： 。
表示式给出的解称为方程组的 通解 。（因为它给出了所有解的显示表达。）这种解集的表示式称为解集的 参数表示 。解方程组就是要求出解集的这种参数表示或确定它无解。

求解线性方程组的通解，该方程组相容且其增广矩阵已经化为 。
解：该矩阵已是阶梯形矩阵。使用行化简算法将其化为简化阶梯形矩阵。
～
～ ～
增广矩阵有6列，所以原方程组有5个变量，对应的方程组为
矩阵的主元列是第1、3、5列，所以基本变量为 ， ， ，剩下的变量 和 为自由变量。我们得到通解为

当一个方程组是相容的且具有自由变量时，它的解集具有多种参数表示。例如线性方程组 的解集的另一种参数表示 。不过，我们总是约定使用自由变量作为参数来表示解集。
当方程组步相容时，解集是空集。无论方程组是否有自由变量，解集无参数表示。

确定线性方程组 的解是否存在且唯一
解：上面案例中已化出其阶梯形矩阵

主元列是第1、2、5列，所以基本变量是 ， 和 ，自由变量是 和 。

当一个方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵，且主元列不包含最右列（对应方程形如 ）时，每个非零方程包含一个基本变量，它的系数非零。或者这些基本变量已完全确认（此时无自由变量），或者至少有一个基本变量可用一个或多个自由变量表示。对于前一种情形，有唯一的解；对后一种情形，有无穷多个解（对应于自由变量的每一个选择都有一个解。）

故方程组的解存在，且有无穷多个解。

线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。也就是说，增广矩阵的阶梯形没有形如 的行。若线性方程组相容，则它的解集可能有两种情形：