Question

二维正态分布相关系数为0说明什么

Answer 1

二维正态分布相关系数为0说明这两个变量之间不线性相关，但是不代表这两个变量相互独立。

假设变量X服从于正态分布，并且期望为0。变量Y=X^2。那么，变量X和变量Y是不独立的。但是，COV(X,Y)=E(XY) - E(X)E(Y)=E(X^3) - 0*E(Y)=E(X^3)=0，因此，COR(X,Y)=COV(X,Y)/Sqrt[VAR(X)VAR(Y)]=0，即，相关系数为0。

对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互独立的充要条件是参数ρ=0。也即二维正态随机变量独立和不相关可以互推。二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布的形式，对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布是一样的。

这一事实表明，单由关于X和关于Y的边缘分布，不能确定随机变量X和Y的联合分布，但加入了结合紧密程度的参数，就可以确定。

性质：

二维正态分布具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ,σ2)。

μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的期望、均数、中位数、众数相同，均等于μ。

σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。