Question

已知f(x)=ax2+bx+c(a不等于0)的图像经过定点(-1,0),是否存在常数a,b,c使不等式x小于等于f(x)小于等于2分之

已知f(x)=ax2+bx+c(a不等于0)的图像经过定点(-1,0),是否存在常数a,b,c使不等式x小于等于f(x)小于等于2分之1+x2对一切实数x均成立

Answer 1

已知f(x)=ax2+bx+c(a不等于0)的图像经过定点(-1,0),是否存在常数a,b,c使不等式x小于等于f(x)小于等于2分之1+x2对一切实数x均成立
解析：∵f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)的图像经过定点(-1,0)
∴f(-1)=a-b+c=0
若x<=f(x)==>ax^2+(b-1)x+c>=0成立
则a>0，且⊿=(b-1)^2-4ac=b^2-2b+1-4ac<=0 (1)
若f(x)<=1/2+x^2==>(a-1)x^2+bx+c-1/2<=0成立
则a-1<0==>a<1，且⊿=b^2-4(a-1)(c-1/2) =b^2-4ac+2a+4c-2<=0 (2)
令(1)=(2)
b^2-2b+1-4ac= b^2-4ac+2a+4c-2
4a+6c-3=0==>c=(3-4a)/6
∴存在常数a,b,c使不等式x<=f(x)<=1/2+x^2，对一切实数x均成立
0<a<1,b=a+c=(3+2a)/6,c=(3-4a)/6