根号1+x^2的不定积分
具体回答如下:
令x=tant,t∈(-π/2,π/2)
√(1+x²)=sect,dx=sec²tdt
∫√(1+x²) dx
=∫sec³t dt
=∫sect d(tant)
=sect*tant-∫tant d(sect)
=sect*tant-∫tan²t*sectdt
=sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt
=sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt
∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)
=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+C
原式=(1/2)[x*√(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+C
不定积分的意义:
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。连续函数,一定存在定积分和不定积分。
若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
结果是 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C
x = sinθ,dx = cosθ dθ
∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ
= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C
= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C
= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C
= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C
根据牛顿-莱布尼茨公式,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系:定积分是一个数,而不定积分是一个表达式,它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
以上内容参考来源:百度百科-不定积分
∫√(1+x²) dx
=∫sec³t dt
=∫sect d(tant)
=sect*tant-∫tant d(sect)
=sect*tant-∫tan²t*sectdt
=sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt
=sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt
∴∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)
=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+C
∴原式=(1/2)[x*√(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+C
C为任意常数
C为常量。