Question

秩相等的向量组一定等价吗?

Answer 1

秩相等的两个向量组不一定等价，等价的向量组包含的向量个数不一定相同。

等价向量组的性质。等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。任一向量组和它的极大无关组等价。

向量组的任意两个极大无关组等价。两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

向量 (0,1,0)和向量(1,0,0)都可以构成秩为1的向量组，但是两者不等价，只有“是”的命题需要系统性的证明，否定性的命题，特例就足够了。不成立的命题，要证明是非常难的。