Question

基础解系一定线性无关吗？

Answer 1

是的。

基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。

例如，V的基都是V的极大线性无关组。它们所含的向量个数（基数）相同。V的子集S的极大线性无关组所含向量的个数（基数），称为S的秩。只含零向量的子集的秩是零。V的任一子集都与它的极大线性无关组等价。特别地，当S等于V且V是有限维线性空间时，S的秩就是V的维数。

线性方程组解的结构

定理1

设方程组对应的矩阵系数矩阵为A,增广矩阵为B，且R (A) =R (B) =r≠0，则在方程组中存在r个方程，使得解方程组可以归结为解由这r个方程所组成的线性方程组。

定理2

设方程组对应矩阵的系数矩阵为A,增广矩阵为B，且R (A) =R (B) =r≠0。

（1）当r=n时，方程组有唯一解。

（2）当r<n时，齐次线性方程组（2)的解向量组的极大线性无关组有n-r个解向量。