基础解系一定线性无关吗?
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是的。
基础解系是线性无关的,简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解,是针对有无数多组解的方程而言的。
例如,V的基都是V的极大线性无关组。它们所含的向量个数(基数)相同。V的子集S的极大线性无关组所含向量的个数(基数),称为S的秩。只含零向量的子集的秩是零。V的任一子集都与它的极大线性无关组等价。特别地,当S等于V且V是有限维线性空间时,S的秩就是V的维数。
线性方程组解的结构
定理1
设方程组对应的矩阵系数矩阵为A,增广矩阵为B,且R (A) =R (B) =r≠0,则在方程组中存在r个方程,使得解方程组可以归结为解由这r个方程所组成的线性方程组。
定理2
设方程组对应矩阵的系数矩阵为A,增广矩阵为B,且R (A) =R (B) =r≠0。
(1)当r=n时,方程组有唯一解。
(2)当r<n时,齐次线性方程组(2)的解向量组的极大线性无关组有n-r个解向量。
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