Question

抛物线上的点到焦点的距离等于多少?

Answer 1

抛物线上点到焦点距离等于到准线的距离，也等于这点的横坐标x1+p/2（对应抛物线y^2=2px）。

平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

抛物线

抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。

抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。焦点并不在准线上，抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。

Answer 2

抛物线上的任意一点到焦点的距离恒等于该点到准线的距离。
具体来说,设抛物线方程为:
y=ax^2 + bx + c
其焦点为:(0, c)
取抛物线上的任意一点为:(x1, y1)
根据抛物线方程有:
y1 = ax1^2 + bx1 + c
则点(x1, y1)到焦点(0, c)的距离为:
L1 = √(x1-0)^2 + (y1-c)^2
= √(x1^2 + (y1-c)^2)
而点(x1, y1)到准线x=0的距离为:
L2 = |x1| = x1
由抛物线的性质可知:L1 = L2
即点到焦点距离 = 点到准线距离
所以,抛物线上任意一点到焦点的距离,恒等于该点到准线的距离。这是抛物线的重要性质之一。

Answer 3

在一个抛物线上，点到焦点的距离等于从该点到抛物线的准线的垂直距离，也就是垂直于准线的距离。
对于标准的纵轴对称的抛物线，焦点位于抛物线的顶点，并且与顶点在同一垂直线上。在这种情况下，焦点与抛物线上的任意一点之间的距离是相等的，称为焦距，通常用字母 f 表示。
因此，对于标准纵轴对称的抛物线，点到焦点的距离始终等于焦距，即 d = f。
需要注意的是，这个结论仅适用于标准纵轴对称的抛物线。对于非标准的抛物线，焦点和焦距的位置会发生变化，点到焦点的距离也会随之改变。

Answer 4

在抛物线上的任意点到焦点的距离等于该点到抛物线的准线的垂直距离，也就是焦点到抛物线的顶点的距离。
在标准抛物线方程 y = ax^2 中，焦点位于 (0, 1/4a)。
因此，抛物线上任意点 (x, ax^2) 到焦点 (0, 1/4a) 的距离可以通过计算它们在 y 轴方向的距离来得到：
距离 = |ax^2 - 1/4a| = |ax^2 - 1/(4a)|
例如，如果抛物线方程是 y = 2x^2，则焦点位于 (0, 1/4*2) = (0, 1/2)。
对于点 (2, 2*2^2) = (2, 8)，它到焦点 (0, 1/2) 的距离为：
距离 = |2*2^2 - 1/(4*2)| = |8 - 1/8| = |64/8 - 1/8| = |63/8| = 63/8
所以，点 (2, 8) 到焦点的距离是 63/8。

Answer 5

抛物线上的点到焦点的距离等于抛物线上的点到准线的距离。